"Equations of Mathematical Physics" - kurs 2800 rub. fra MSU, trening 15 uker. (4 måneder), dato: 30. november 2023.
Miscellanea / / December 02, 2023
Kurset er rettet mot bachelorer, master og spesialister med spesialisering innen matematiske, ingeniør- eller naturvitenskapelige disipliner, samt universitetslærere. Formålet med kurset er å introdusere studenten til en rekke klassiske problemstillinger innen likningsfeltet med matematisk fysikk og å lære studenten grunnleggende metoder for å studere slike ligninger. Emnet dekker klassisk materiale om matematisk fysikks ligninger (partielle differensialligninger) i løpet av ett studiesemester. Avsnittene "Lineære og kvasilineære ligninger av første orden", "Klassifisering av lineære ligninger", "Bølgeligning", "Parabolsk ligning", "Grunnleggende løsninger", "Laplaces ligning". Vi vil bli kjent med de klassiske problemformuleringene - Cauchy-problemet, grenseproblem. La oss mestre de grunnleggende metodene for å studere ligninger - direkte integrasjon, metoden for videreføring av løsninger, Fourier-metoden, metoden for grunnleggende løsninger, metoden for potensialer. Vi vil ofte huske utledningen av disse ligningene i problemer med matematisk fysikk og grensene for anvendbarheten til modellene våre.
Studieform
Korrespondansekurs med fjernundervisningsteknologi
Opptakskrav
Tilgjengelighet av VO eller SPO
2
kursDoktor i fysiske og matematiske vitenskaper, professorstilling: Professor ved Institutt for grunnleggende og anvendt matematikk, fakultet for romforskning, Moskva statsuniversitet oppkalt etter M.V. Lomonosov
1. Første møte.
Innledende ord. Grunnleggende prinsipper for arbeid med ligninger i matematisk fysikk. Eksempler på enkle ligninger. Klassifisering. Løse enkle ligninger ved å redusere dem til vanlige differensialligninger. Erstatte variabler i en ligning.
2. Første ordens ligninger – lineære og kvasilineære.
Lineære ligninger. Finne en passende erstatning - kompilere og løse et system av førsteordens vanlige differensialligninger. Første integraler av systemet. Kjennetegn. Kvasilineære ligninger. Å finne en løsning i en implisitt form.
3. Cauchy problem. Klassifisering av lineære andreordensligninger.
Uttalelse av Cauchy-problemet. Teorem om eksistensen og unikheten til en løsning på Cauchy-problemet. Klassifisering av andreordens lineære ligninger med konstante koeffisienter. Reduksjon til kanonisk form.
4. Hyperbolske, parabolske og elliptiske ligninger.
Klassifisering av andreordens lineære ligninger med variable koeffisienter på planet. Hyperbolsk, parabolsk og elliptisk type. Løse hyperbolske ligninger. Problemer med start- og randbetingelser.
5. Strengeligning.
Endimensjonal bølgeligning på hele aksen. Forover og bakover bølge. d'Alemberts formel. Duhamel integral. Grensebetingelser for ligningen på halvaksen. Grunnleggende typer grensebetingelser. Fortsettelse av løsningen. Tilfellet av et begrenset segment.
6. Fouriermetode som bruker strengligningen som eksempel.
Ideen om Fourier-metoden. Det første trinnet er å finne et grunnlag. Det andre trinnet er å få ordinære differensialligninger for Fourier-koeffisientene. Det tredje trinnet er å ta hensyn til de første dataene. Konvergens av serier.
7. Diffusjonsligning (endelig segment).
Utledning av ligningen. Redegjørelse av problemer (start- og randbetingelser). Fouriermetoden. Tar hensyn til høyre side og inhomogenitet i randforhold. Konvergens av serier.
8. Diffusjonsligning (hele aksen).
Fouriertransformasjon, inversjonsformel. Løse ligningen ved hjelp av Fourier-transformasjonen. Teorem – begrunnelse av metoden (to tilfeller). Poissons formel. Tilfellet av en ligning med høyre side.
9. Generaliserte funksjoner.
Å skrive Poissons formel som en konvolusjon. Registrering i form av en konvolusjon av løsningen til varmeligningen på et endelig segment. Schwartz klasse. Eksempler på funksjoner fra klassen. Definisjon av generaliserte funksjoner, sammenheng med klassiske funksjoner. Multiplikasjon av en generalisert funksjon med en grunnleggende funksjon, differensiering. Konvergens av generaliserte funksjoner. Eksempler på generiske funksjoner.
10. Arbeid med generiske funksjoner.
Løse vanlige differensialligninger i generaliserte funksjoner. Fouriertransformasjon av generaliserte funksjoner. Konvolusjon. Direkte produkt. Bæreren av en generalisert funksjon. Løse den inhomogene endimensjonale varmeligningen ved å bruke den grunnleggende løsningen. Grunnleggende løsning av en vanlig differensialoperatør på et intervall.
11. Grunnleggende løsninger.
Avledning av Poisson-formelen for den flerdimensjonale varmeligningen. Utledning av Kirkhoffs formel. Utledning av Poissons formel for bølgeligningen. Løse problemer ved å bruke metoden for separasjon av variabler, metoden for superposisjon.
12. Laplaces ligning.
Utledning av Laplaces ligning. Vektorfelt – potensial, flyt gjennom en overflate. Volumpotensial. Enkelt lagpotensial. Dobbeltlagspotensial. Logaritmisk potensial.
13. Dirichlet problem, Neumann problem og Greens funksjon.
Harmoniske funksjoner. Svak ekstremumprinsipp. Harnacks teorem. Strengt maksimumsprinsipp. Unikitetsteorem. Middelverditeorem. Uendelig glatthet. Liouvilles teorem. Greens formel. Grønns funksjon, dens egenskaper. Løsning av Poisson-problemet med Dirichlet-forhold ved å bruke Greens funksjon. Andre grenseverdiproblemer. Konstruksjon av den grønnes funksjon ved refleksjonsmetoden.
14.Multidimensjonal Fouriermetode.
Løse problemer ved hjelp av Fourier-metoden. Ulike grenseforhold. Bessel funksjoner. Legendre polynom. Gjennomgang av gjennomført kurs. Oppsummering.