"Naked statistikk" - den mest interessante boken om den mest kjedelige vitenskap
Bøker / / December 19, 2019
Riddle av Monty Hall
"Riddle av Monty Hall" - den berømte problemet med teorien om sannsynlighet, for å forvirre deltakerne i spillet show kalt La oss Gjør en avtale ( «å gjøre en avtale"), er fortsatt populært i enkelte land, som hadde premiere i USA i 1963 år. (Jeg husker, hver gang jeg så dette showet som et barn, når du ikke går på skole på grunn av sykdom.) I innledningen til boken, har jeg allerede påpekt at i dette spillet showet kan være interessant for statistikere. På slutten av sin slippfest for å nå finalen, og ble med Monti Hall før tre store Dør: № 1, døren 2 og døren № № 3. Monty Hall forklarte finalist, som er svært verdifull premie gjemt bak en av disse dørene - for eksempel en ny bil, men for de to andre - en geit. Finalist måtte velge en av dørene og få hva som var bak det. (Jeg vet ikke om det var blant deltakerne i showet minst én person som ønsker å få en geit, men for enkelhets skyld antar vi at det store flertallet av deltakerne drømt om ny bil.)
Den opprinnelige sannsynligheten for å vinne er ganske enkelt å avgjøre. Det er tre dører, med to geiteskinn, og for det tredje - bilen. Når deltakerne på showet sammen med Monty Hall står foran disse dørene, har han en sjanse i tre å velge en dør, bak som det er en bil. Men, som nevnt ovenfor, la oss gjøre en avtale ligger kunsten, udødeliggjort denne TV-show og forspranget i litteraturen på teorien om sannsynlighet. Etter finalistene i showet vil peke på noen av de tre dører, åpner Monty Hall en av de to gjenværende dører, bak noe som alltid er en geit. Da Monty Hall spør finalist, hvis han ønsket å ombestemme seg, det vil si å forlate den tidligere valgte dem lukket dør til en annen dør lukket.
La oss si, for eksempel at brukeren har tastet inn et nummer på døren en. Monty Hall deretter åpnet døren nummer tre, bak som en geit. To dører, dør nummer 1 og nummer 2 dørs forblir stengt som før. Hvis en premie er bak en dør nummer en, ville finalist har vunnet den, men hvis for dør nummer to, ville han ha tapt. Det var på dette tidspunktet Monty Hall refererer til spilleren med spørsmålet om hvorvidt han ønsker å endre sitt første valg (i dette tilfellet nekter å Doors nummer 1 i favør av Doors nummer 2). Selvfølgelig du huske at begge dørene stengt frem. Den eneste ny informasjon som deltakeren har fått, er at ungen var bak en av de to dører, som han ikke velger.
Har finalistene skal bli forlatt til fordel for den første valg av dører nummer to?
Svaret er: Ja, det skal. Hvis han vil holde seg til den opprinnelige valg, sannsynligheten for å vinne dem en verdifull premie vil være ⅓; hvis den skifter sinn og vil peke på dør nummer to, vil sannsynligheten for å vinne en verdifull premie være ⅔. Hvis du ikke tror meg, kan du lese videre.
Jeg innrømmer at en slik respons ved første blikk langt fra opplagt. Det virker som, uansett hva de to andre dørene har valgt en av finalistene, sannsynligheten for en verdifull premie i begge tilfeller lik ⅓. Det er tre lukkede dører. I begynnelsen er ⅓ sannsynligheten for at en pris er skjult bak dem alle. Er har en verdi beslutning finalist endre sitt valg i favør av en annen lukket dør?
Selvfølgelig, siden hindring er at Monty Hall vet hva som er bak hver dør. Hvis en av finalistene velger dør nummer 1, og det vil virkelig være en bil, kan Monty Hall åpne noen dør nummer to eller nummer tre dør, for å vise en geit, gjemmer seg bak det.
Hvis en av finalistene velger dør nummer en, og bilen vil være bak dør nummer to, åpner Monty Hall dør nummer tre.
Hvis finalistene vil indikere dør nummer en, og bilen vil være bak dør nummer tre, åpnes Monty Hall dør nummer to.
Han ombestemt seg etter ledende åpne noen av dørene, mottar en finalist et utvalg nytte av to dører i stedet for én. Jeg vil prøve å overbevise deg om riktigheten av denne analysen på tre forskjellige måter.
Den første - det empiriske. I 2008, en spaltist for avisen The New York Times, John Tayerni skriftlig materiale om "fenomenet Monty Hall." Etter utgivelsen ansatte utviklet et interaktivt program som lar deg spille dette spillet, og bestemme selv, å endre sin opprinnelige valg eller ikke. (Programmet gir selv små geiter og avtomobilchiki som vises fra bak døren.) Program Den fanger opp dine gevinster når du endrer ditt første valg, og da overlatt til sin egen mening. Jeg betalte en av sine døtre for henne å spille dette spillet 100 ganger, hver gang du endrer det opprinnelige valget. Jeg har også betalt sin bror, slik at også han har spilt dette spillet 100 ganger, hver gang du forlater den opprinnelige avgjørelsen. Datter vunnet 72 ganger; hennes bror - 33 ganger. Innsats ble belønnet hver dollar.
Disse episodene av spillet La oss gjøre en avtale viser samme mønster. Ifølge Leonard Mlodinovu, forfatter av The Drunkard Walk, de finalistene som forandret hans det første valget av vinneren er omtrent to ganger mer sannsynlig enn de som holdt seg på sin mening.
Min andre forklaring på dette fenomenet er basert på intuisjon. La oss si at spillereglene har endret seg litt. For eksempel, finalist starter med å velge en av de tre dører: Dører № 1 № Dører Dørene № 2 og 3, som den opprinnelig ble levert. Men så, før du åpner noen av dørene, bak som skjuler en geit, Monty Hall spør: "Er du enig å gi opp sin Valget i bytte for å åpne de resterende to dører? "Så, hvis du velger dør nummer en, kan du ombestemme deg i favør av antall 2 Dører og dører nummer 3. Hvis det første punktet til døren nummer 3, kan du velge dør nummer en og nummer to dør. Og så videre.
For deg, ville det ikke være en spesielt vanskelig avgjørelse: det er åpenbart at du bør nekte det første valget i favør av de to andre dørene, fordi det øker sjansene for å vinne med ⅓ til ⅔. Det mest interessante er at det er egentlig en versjon av Monty Hall tilbyr en ekte spill, etter å åpne døren, bak som skjuler en geit. Den grunnleggende faktum er at hvis du fikk muligheten til å velge to dører, bak en av dem, i alle fall ville skjule en geit. Når Monty Hall åpner døren, bak der er det en geit, og bare da ber deg Er du enig å endre sin opprinnelige valg, det øker betraktelig dine vinnersjanser verdifull premie! Faktisk, forteller Monty Hall deg, "Sannsynligheten for at en pris er skjult bak en av de to dørene, at du ikke har valgt første gang, er ⅔, men det er fortsatt mer enn ⅓!»
Dette kan representeres som følger. Si du vist døren nummer 1. Etter at Monty Hall gir deg muligheten til å forlate den opprinnelige avgjørelsen i favør Dører nummer 2 og nummer 3 Doors. Du godtar og har til disposisjon to dører, som betyr at du har all grunn til å regne med å vinne en verdifull premie med sannsynlighet ⅔, snarere enn ⅓. Hva ville skje hvis, i det øyeblikket, Monty Hall åpnet døren nummer tre - en av "din" dør - og det viste seg å være en geit? ville riste det faktum at din tillit i avgjørelsen? Selvsagt ikke. Hvis bilen er skjult bak døren nummer tre, ville Monty Hall har åpnet døren nummer to! Han ville ikke vise deg noe.
Når spillet er på nakatannomu scenario, Monty Hall virkelig gir deg et valg mellom døren, du har angitt i begynnelsen, og de to gjenværende dører, bak en av disse kan være bil. Når Monty Hall åpner døren, bak som en geit, det bare gir deg en tjeneste ved å demonstrere, for hvilken av de to andre dørene har ingen bil. Du har samme sannsynlighet for å vinne i begge følgende scenarier.
- Velge Dør nummer en, deretter samtykke fra "bryteren" på døren til nummer to og nummer tre døren før både vil åpne noen dør.
- Velge Dør nummer en, deretter samtykke fra "bryteren" på døren til nummer to, etter Monty Hall vise deg geit av døren nummer tre (eller velg Doors nummer tre, etter Monty Hall vise deg en geit bak dør nummer 2).
I begge tilfeller, avslag på den opprinnelige løsningen gir deg fordelen av de to dørene, sammenlignet med en ut og du kan dermed doble sine vinnersjanser: med ⅓ til ⅔.
Min tredje utførelsesform representerer en mer radikal versjon av den samme base intuisjon. Anta Monty Hall tilbyr deg å velge en av 100 dører (i stedet for en av de tre). Når du gjør, sier, peker på døren til nummer 47, åpner det opp de resterende 98 dører, bak som er geitene. Nå lukkede dører er bare to: døren nummer 47, og en annen, for eksempel dør nummer 61. Skulle du oppgi ditt første valg?
Selvfølgelig ja! Med 99 prosent sannsynlighet for at bilen er bak en av dørene, som du velger i begynnelsen. Monty Hall ga deg en tjeneste ved å åpne 98 slike dører, bilen var ikke for dem. Dermed er det bare en 1 i 100 sjanse for at den opprinnelige valg (dør nummer 47) vil være korrekt. Samtidig er det en 99 ut av 100 sjanse for at ditt førstevalg er galt. Hvis ja, så bilen er bak de resterende dør, så er det dør nummer 61. Hvis du ønsker å spille med en sjanse til å vinne 99 ganger på 100, så må du "bryter" på døren til nummer 61.
Kort sagt, hvis du trenger å delta i La oss gjøre en avtale spillet, du absolutt trenger å gi fra sin opprinnelige beslutning når Monty Hall (eller den som skal være hans stedfortreder) vil gi deg muligheten til å valg. Mer universell konklusjon fra dette eksempelet er at intuisjoner om sannsynligheten for forekomsten av visse hendelser kan noen ganger villede deg.
"Naked statistikk" av Charles Whelan
Kjøp på Litres.ru