Analytisk geometri - gratis kurs fra Open Education, opplæring 13 uker, ca 5 timer pr uke, Dato 29. november 2023.

Priser og prestasjoner Russisk regjeringspris innen utdanning for 2010, æret lærer ved MIPT.

Kurset består av 12 opplæringsuker og en eksamensuke

Uke 1. Matriser

01.00 Innledning

01.01 Matrisedefinisjon

01.02 Operasjoner med matriser

01.02.01 Problem. Beregning av lineær kombinasjon av matriser

02/01/02 Problem. Finne den transponerte matrisen

01.03 Produkt av matriser. Del 1

01.04 Produkt av matriser. Del 2

04/01/01 Problem. Beregning av produktet av matriser

04/01/02 Problem. Kontrollere eksistensen av et produkt og beregne det 

04/01/03 Problem. Beregne en matrise i n-te potens. Eksempel 1

04/01/04 Problem. Beregne en matrise i n-te potens. Eksempel 2

04/01/05 Problem. Beregne et matrisepolynom

04/01/06 Problem. Kontrollere gyldigheten av matriselikhet

04/01/07 Problem. Beregning av en matrise til en numerisk potens

01.05 Matrisedeterminant

01.05.01 Problem. Beregning av determinanten til en matrise

01.06 Cramers regel

06/01/01 Problem. Løse et system av lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode

Uke 2. Vektorer

02.01 Bestemmelse av et rettet segment, vektor

02.02 Repetisjon fra skolegeometrikurset 

02.02.01 Problem. Bevis på ulikheten for en firkant i rommet

02.02.02 Problem. Bevis på likhet for en n-gon

02.03 Lineær kombinasjon av vektorer

02.04 Lineær avhengighet og uavhengighet av vektorer 

02.05 Kriterium for lineær avhengighet av et system av vektorer

02.06 Grunnlag

02.06.01 Problem. Finne vektorkoordinater

02.06.02 Problem. Finne koordinatene til et parallellepiped ved hjelp av vektorer

02.07 Utskifting av grunnlag

07/02/01 Problem. Finne koordinatene til et prismepunkt i et nytt koordinatsystem

07/02/02 Problem. Finne koordinatene til et parallellogrampunkt i et nytt koordinatsystem

02.08 Kartesisk koordinatsystem (DCS)

02.08.01 Problem. Kontroller at vektorer danner et grunnlag

02.09 Utskifting av ODSC

02.09.01 Problem. Finne koordinatene til origo og basisvektorer i det nye og det gamle koordinatsystemet

02.09.02 Problem. Finne koordinatene til en vektor i det nye grunnlaget gjennom koordinatene i det gamle

Uke 3. Produkt av vektorer

03.01 Punktprodukt av vektorer

03.02 Projeksjon av en vektor på en vektor som ikke er null

03.03 Egenskaper til skalarproduktet til vektorer. Del 1

03.04 Egenskaper til skalarproduktet til vektorer. Del 2

04/03/01 Problem. Finne lengdene på sidene og vinklene til et parallellogram ved å bruke basisvektorer

04/03/02 Problem. Finne den ortogonale projeksjonen av en vektor på en linje

03.05 Orientering av baser. Orienterte volumer og arealer

03.06 Blandet produkt av vektorer. Del 1

03.07 Blandet produkt av vektorer. Del 2

03.08 Vektorprodukt av vektorer. Del 1

03.09 Vektorprodukt av vektorer. Del 2

03.09.01 Problem. Bevis på koplanaritet av vektorer

03.09.02 Problem. Finne arealet av en trekant ved hjelp av vektorkoordinater

09/03/03 Problem. Bevis på likhet for ikke-kollineære vektorer

09/03/04 Problem. Finne volumet til et tetraeder og dets høyde

03.10 Dobbeltkryss produkt

03.10.1 Problem. Identifikasjon

03.11 Gjensidig grunnlag

Uke 4 Del 1. Fly i verdensrommet

04.01 Definisjon av et plan i rommet

04.02 Ulike former for å skrive likningen til et fly

04.03 Generell planligning

04.03.01 Problem. Planligning

Uke 4 Del 2. Rett på et fly. Rett linje og plan i rommet

04.04 Rett linje på et fly

04.04.01 Problem. Finne radiusvektoren til et punkt

04.04.02 Problem. Betingelser for skjæring, parallellitet og perpendikularitet av linjer i et plan

04.05 Generell ligning av en rett linje på et plan. Rett linje i rommet

04.05.01 Problem. Finne radiusvektoren til skjæringspunktet mellom linjer

04.05.02 Problem. Ligning av en linje som skjærer to skjeve linjer

04.05.03 Problem. Ligning av en linje som går gjennom et punkt og parallelt med en annen linje

04.05.04 Problem. Betingelse for skjæringspunktet mellom en linje og et plan

04.06 Innbyrdes arrangement av linjer og fly

06/04/01 Problem. Ligning av et plan som går gjennom et punkt og parallelt med to linjer

06/04/02 Problem. Ligning av et plan som går gjennom en linje og parallelt med en annen linje

04.07 Rett linje og plan i PDSC

04.07.01 Problem. Ligning av linjer som går gjennom ett punkt og like langt fra to andre punkter

04.07.02 Problem. Ligning av halveringslinjen for vinkelen mellom linjene

04.08 Noen metriske problemer i PDSC. Del 1

04.08.01 Problem. Ligning av linjer parallelle med en annen linje og atskilt fra et punkt i en viss avstand

04.08.02 Problem. Generell ligning for et plan som går gjennom et punkt og en linje. Avstand fra dette planet til et gitt punkt

04.09 Noen metriske problemer i PDSC. Del 2

04.09.01 Problem. Avstand mellom linjene

Uke 5. Algebraiske linjer av andre orden på flyet

05.01 Definisjon av algebraiske linjer og flater

05.02 Andre ordens linjer på et fly. Ellipseligning

05.03 Ligning av en imaginær ellipse, et par imaginære kryssende linjer, en hyperbel, et par kryssende linjer

05.04 Ligning av en parabel, par med parallelle linjer, par med imaginære parallelle linjer, par av sammenfallende linjer

05.05 Sentrum av linjen. Elliptiske og hyperbolske linjer

05.05.01 Problem. En type annenordenskurve definert av en ligning. Den kanoniske ligningen til en kurve og det kanoniske koordinatsystemet. Eksempel 1

05.05.02 Problem. En type annenordenskurve definert av en ligning. Den kanoniske ligningen til en kurve og det kanoniske koordinatsystemet. Eksempel 2

05.05.03 Problem. En type annenordenskurve definert av en ligning. Den kanoniske ligningen til en kurve og det kanoniske koordinatsystemet. Eksempel 3

Uke 6 Studerer egenskapene til ellipse, hyperbel og parabel

06.01 Ellipse

01/06/01 Problem. Kanonisk ellipseligning

06.02 Ellipsens egenskaper

06.03 Ligning av en tangent til en ellipse

03/06/01 Problem. Likning av tangenter til en ellipse

03/06/02 Problem. Vinkel mellom tangenten og okseaksen

06.04 Hyperbole

04/06/01 Problem. Hyperbeleksentrisitet

06.05 Geometriske egenskaper til en hyperbel

05/06/01 Problem. Bevis på konstansen til produktet av avstanden fra et hvilket som helst punkt i en hyperbel til dens asymptoter

06.06 Parabel

06.06.01 Problem. Parabelligning

06.06.02 Problem. Tangentlikninger til en parabel

06.07 Ellipse, hyperbel og parabel i det polare koordinatsystemet

Uke 7 Andre ordens overflate

07.01 Rotasjonsflate

07.02 Ellipsoid

07.03 Andre ordens kjegle

07.04 Enkeltarks hyperboloid

07.05 Rettlinjede generatorer av en ettarks hyperboloid

07.06 To-arks hyperboloid, elliptisk og hyperbolsk paraboloid

06/07/01 Problem. Bestemme overflatetype

06/07/02 Problem. Vanlige punkter på en linje og andre-ordens overflater

06/07/03 Problem. Parametriske ligninger for rettlinjede generatorer på en gitt overflate

06/07/04 Problem. Type overflate dannet ved å rotere en rett linje

Uke 8 Kartlegginger og transformasjoner

08.01 Definisjon av kartlegging og transformasjon

08.02 En-til-en kartlegging. Produkt av kartlegginger

08.03 Egenskaper til produktet av plantransformasjoner. Koordinere registrering av kartlegginger

08.04 Ortogonale plantransformasjoner

08.05 Lineære og affine transformasjoner

08.06 Bilde av en vektor under lineær transformasjon. Del 1

08.07 Bilde av en vektor under lineær transformasjon. Del 2

08.08 Geometriske egenskaper ved affine transformasjoner

08.08.01 Problem. Symmetri om en rett linje

08.08.02 Problem. En affin transformasjon av et plan som tar gitte linjer inn i seg selv og et gitt punkt inn i et annet punkt

08.09 Skiftende områder under affin transformasjon

08.10 Bilder av andreordens linjer under affin transformasjon

08.10.01 Problem. Andre ordens kurvetype

08.10.02 Problem. Bevis på likhet av summen av arealer av trekanter

08.11 Dekomponering av en affin transformasjon

08.11.01 Problem. Representasjon av en gitt affin transformasjon som produkter av tre transformasjoner

Uke 9 Determinanter av n. ordens matriser

09.01 Determinanter

01/09/01 Problem. Determinant for rekkefølgen. Eksempel 1

01/09/02 Problem. Determinant for rekkefølgen. Eksempel 2

09.02 Determinantens egenskaper. Del 1

09.03 Determinantens egenskaper. Del 2

09.04 Determinantens egenskaper. Del 3

04/09/01 Problem. Vandermonde determinant

04/09/02 Problem. Determinant for orden 2n

09.05 Formel for fullstendig utvikling av determinant

05/09/01 Problem. Fullfør dekomponeringsformel for en femteordens matrise

09.06 SLAU i spesialtilfelle

09.07 Cramers regel i den generelle saken

Uke 10 Matriserangering

10.01 Mindreårige av vilkårlig orden

10.02 Matriserangering

02/10/01 Problem. Rangering og basissystem av matrisekolonner

02/10/02 Problem. Estimere rangeringen til en matrise av orden n

02/10/03 Problem. Bevis på rangeringsulikhet for alle matriser av samme størrelse

02/10/04 Problem. Ikke-null moll av orden r av en matrise med rang r

02/10/05 Problem. Matriserangering estimering

10.03 Redusere matrisen til en forenklet form

10.04 Gaussisk metode

10.05 Basis mollsetning

05/10/01 Problem. Representasjon av en matrise gjennom produktet av matriser

10.06 Matriserangeringsteorem

06/10/01 Problem. Øvre grense for rangeringen av produktet av to matriser

06/10/02 Problem. Bevis på likhet av rangeringen til en matrise til høyeste rekkefølge av dens mindreårige

Uke 11 invers matrise

11.01 Definisjon av invers matrise

11.02 Uttrykke elementer i en invers matrise gjennom elementer i den opprinnelige matrisen

 02/11/01 Problem. Beregning av den inverse matrisen. Eksempel 1

02/11/02 Problem. Finne den inverse matrisen. Eksempel 2

11.03 Egenskaper til en invers matrise

03/11/01 Problem. Kontrollerer gyldigheten av identiteten for matriser

11.04 Nok et bevis på eksistensen av en invers matrise for en ikke-singular kvadratisk matrise

11.05 Karakteristisk polynom for en matrise

05/11/01 Problem. invers matrise

11.06 Hamilton-Cayley teorem

11.07 Elementære transformasjoner som matrisemultiplikasjon

07/11/01 Problem. Beregning av den inverse matrisen gjennom elementære transformasjoner. Eksempel 1

07/11/02 Problem. Finne den inverse matrisen. Eksempel 2

Uke 12 Generell teori for lineære systemer

12.01 Kronecker-Capelli teorem

12.02 Fredholms teorem

12.03 Generell løsning av inhomogen SLAE

12.04 Fundamental matrise av en homogen SLAE. Del 1

12.05 Fundamental matrise av en homogen SLAE. Del 2

05.12.01 Problem. Grunnleggende matrise for SLAE

05.12.02 Problem. Sjekker den grunnleggende matrisen til SLAE

05.12.03 Problem. SLAE-løsning

05.12.04 Problem. Generell oversikt over en vilkårlig grunnleggende matrise av SLAE-er

05/12/05 Problem. Ekvivalensbetingelse for SLAE

12.06 Generell løsning av inhomogen SLAE

06/12/01 Problem. SLAE-løsning

06.12.02 Problem. Kompatibilitet av heterogene SLAEer

Uke 13 avsluttende eksamen